话说线上赛有啥游记好写的…但是作为惯例还是写一个。

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在做小学期Day5C题（在线维护中位数）时，由于我没有做过，也没有想到正解（对顶堆），卡了很久，最后用一个奇怪的方法做出来了。发现这个奇怪的做法复杂度稍高，但是可以扩展。对顶堆只能维护中位数或固定k的第k大数，而奇怪做法可以（伪？）在线查找第k大数，k可变，代价是$O(\log^2 n)$的，$n$为数列长度。

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题意

正权无向图$G$，有$n$个点与$m$条边。你要回答$q$次询问，每次询问$u,v$两点，回答对于$u,v$两点，这张图上有多少条边在它们任意一条最短路上出现。

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小学期题用了这个函数，觉得十分高级，学习一个。

这个函数用来数二进制数中1的个数。正常的操作是：看unsigned int二进制表示下最右端是不是1；若是1，则计数器+1，再右移；重复32次。这样的操作需要进行32次int运算，效率不够高。这个问题可以二分解决。

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将每个独立集$V$考虑为原图中被染色的一些顶点，而在原图中加边后$E'$可以得到一个子图$G'$，这个子图如果满足一些条件，$V$就是$E'$生成的子图$G'$中的一个独立集。这些条件为：

1. 一条边的两端不同时被染色（或$V$中任意两点间没有边）
2. 没有孤立顶点被染色（$V$中的每个点都应当与$E'$中的一条边相连）

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由于一条路径可以包含一条边多次，所以如果$a$能经历$k$条边到达$b$，那就可以经过$k+2n$条边到达$b$，只需要在路径中随便找一条边不停折返即可。于是考虑对树黑白染色，（注意结论，即树是二分图，从而可以dfs染成黑白两色，方便考虑）。

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本文讲解Dinic算法的思路，算法本身与证明。

关于残余网络和增广路等概念的说明，请看Ford-Fulkerson算法这篇文章。这里只致力于改进Ford-Fulkerson算法，得到一个与$F$无关的算法。

问题

当$F$较大时，影响Ford-Folkerson算法效率的主要因素在于：每次dfs可能可以找到许多条路径，但是该算法中每次dfs只进行一次增广，这就导致增广次数与$F$（可能）相关。一种想法是一次dfs多次增广，但这样做能否成功是取决于dfs顺序的，于是考虑，dfs顺序如何时，效率较高呢？

思路

Dinic算法的核心是每次寻找最短的增广路，并进行增广。这样做的理由（既是依据，也是好处）是，每次沿最短增广路增广后，最短增广路的长度一定不会减少，稍后会给出证明。假如有了这一结论，每次找到最短增广路的长度时，将该长度的增广路[全部增广]，然后重新寻找最短增广路，其长度至少增1，而增广路长度不会超过$|V|$（因为增广路是简单路径），从而增广次数上界$O(|V|)$。

证明

下面证明，每次沿最短增广路增广后，最短增广路的长度一定不会减少。在原图上，为寻找最短增广路，从$s$出发bfs，设第一次到达点$v$的边为$\langle u,v\rangle$，为点$v$编号$n_v=n_u+1$。由bfs的特性，每条边增量（指该边终点与起点编号差，可为负值，后均同）不超过1。特别地，$n_s=0,s$为源点。称这个图为分层图。

此时有结论：若$n_t$被更新，那么最短增广路的长度为$n_t$。为了证明，可以寻找为$n_t$标号的边的出发点$i$，再寻找为$i$标号的边的出发点$j$，…，最终会回到$s$，并且沿每条边标号增1。由于每条边增量不超过1，每条边都增1是从0到$n_t$最快的方法，从而我们找到了（一条）最短增广路$l_{min}$，并且每个最短增广路中的每条边$\langle u,v\rangle$都满足$n_v=n_u+1$。

下面使用数学归纳法。

（1）在分层图上沿最短增广路增广1次后，新图中可能出现一些新的反向边。若新图中有增广路$l'$，其中的边的来源有两种可能：

【1边】原分层图中的边（bfs时经历过的边）$\langle u,v\rangle$，满足$n_v\leq n_u+1$；

【2边】增广时出现的反向边$\langle v,u\rangle$，记原边为$\langle u,v\rangle$，那么由于原边在最短增广路中，一定满足$n_v=n_u+1$。

那么沿该路径中任何一条边编号增加不超过1，为了从$0$到达$n_t$仍然至少需要$n_t$条边，长度没有变短，所以最短增广路长度没有减少，并且所有边都仍满足$n_v\leq n_u+1$。

（2）假设沿最短增广路增广n次后，最短增广路长度不减少。当增广$(n+1)$次后，若图中无增广路，结论成立。若图中仍有增广路，其中的边可能是：

【1边】增广n次后的图中的边$\langle u,v\rangle$，满足$n_v\leq n_u+1$；

【2边】第$(n+1)$次增广时出现的反向边$\langle v,u\rangle$，记原边为$\langle u,v\rangle$，那么由于原边在最短增广路中，一定满足$n_v=n_u+1$。

类似于上面，可以证明沿最短增广路增广$(n+1)$次后，最短增广路长度仍不减少，并且所有边都仍满足$n_v\leq n_u+1$。

综上，沿最短增广路增广后，最短增广路长度不会减少。

优化

首先，在证明中我们知道：最短增广路中的每条边$\langle u,v\rangle$都满足$n_v=n_u+1$，从而我们只考虑递增的边不会出现错误。实际上，每次分层完后，只要找到增广路就可以增广，不必局限在最短增广路中增广，这是自缚手脚。只考虑递增的边的情况下，情况立刻不同了：图成为了DAG！从而，边$\langle u,v\rangle$能否使用只与$v$可达的点（记符合条件的点集为$V$，那么$\forall g \in V$，$n_g>n_v$）的情况有关，而与$s$如何到达$u$无关，从而，如果某一时刻发现一条边不能使用，那么在重新bfs（即重新标号）之前，无论其他地方如何增广，其后的边流量只会减少不会增加，这条边都仍然不能用来增广。于是可以记录这些边使之只遍历一次，每次分层至多访问它们$O(|E|)$次。

算法描述

下面的算法只是大致的描述，没有伪代码那么明确，重在讲清楚过程，希望我做到了。

（Dinic算法）输入：网络$G(V,E)$ 输出：最大流$max\_flow$

步骤0. [准备]建立数组$iter[V]$，定义$max\_flow\gets0$，用邻接表$G[V]$存储网络；

步骤1. [建立分层图]bfs(s,0)，当bfs(u,n)时，若$n_u$已定义，返回；否则记$n_u=n$，并对$G[u]$中的所有元素$v$进行bfs(v, n+1)。清零$iter[]$数组。

步骤2. [有增广路吗？]若$n_t$未定义，退出算法，返回$max\_flow$。

步骤3. [寻找增广路]在$G$上DFS，寻找从$s$到$t$的简单路径，要求该路径上每条边$e\langle u,v\rangle$可用权值$(w_e-f_e)$大于0，并且$n_v>n_u$。若找到，记该路径上的权值最小的边权值为$f$，否则$f\gets0$。DFS(u)时按顺序遍历$G[u]$，若$G[u][i]$不可用，$iter[u]\gets iter[u]+1$。

步骤4. [找到了，更新残余网络]如果$f>0$，置$max\_flow\gets max\_flow+f$。对路径上的每条边$e$，置$f_e\gets f_e+f$。记其反向边为$e'$，置$w_{e'}\gets w_{e'}+f$。返回步骤3。

步骤5. [没有找到]如果$f=0$，返回步骤1。

复杂度

由于每次dfs都至少使一条边满流（从而使之无法使用），dfs次数上界为$O(|E|)$。在当前弧优化后，每次dfs经过的边有两种可能性：（1）是无用边（2）在增广路里，其中（1）无用边在一次分层内总共访问$O(|E|)$次，而（2）成功增广的情况中，增广路长度不超过$|V|$，每次分层中情况（2）的总复杂度上界为$O(|E||V|)$，从而每次分层的复杂度上界为$O(|E||V|+|E|)=O(|E||V|)$，从而Dinic算法总的时间复杂度为$O(|E||V|^2)$。

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>

#define V 5005 //V为顶点最大个数，视数据范围而定
#define INF 0x7fffffffffffffff

using namespace std;
typedef long long ll;
struct edge{
    ll to, w, rev;
};
vector<edge> G[V];
int num[V], iter[V];
int s, t;//源点和汇点，是全局变量

ll max_flow();
ll dfs(ll u, ll f);
void bfs();
void add_edge(ll from, ll to, ll w);

ll max_flow() {
    ll f = 0, flow = 0;
    while(true) {
        memset(iter, 0, sizeof(iter));
        bfs();
        if(num[t] == -1) return flow;
        while(f = dfs(s, INF)) {
            flow += f;
        }
    }
}
ll dfs(ll u, ll f) {
    if(u == t) return f;
    ll flow;
    for(int &i = iter[u]; i < G[u].size(); i++) {
        edge &e = G[u][i];//注意是引用，需要直接修改原图
        if(e.w > 0 && num[u] < num[e.to]) {
            if(flow = dfs(e.to, (f > e.w ? e.w : f))) {
                //min函数有些编译器不给过，所以用三目
                e.w -= flow;
                //直接修改容量而非同时记录f和w，只是为了方便
                G[e.to][e.rev].w += flow;
                return flow;
            }
        }
    }
    return 0;
}
void bfs() {
    memset(num, -1, sizeof(num));
    queue<int> que;
    que.push(s);
    num[s] = 0;
    while(!que.empty()) {
        int u = que.front(); que.pop();
        for(int i = 0; i < G[u].size(); i++){
            edge &e = G[u][i];
            if(e.w > 0 && num[e.to] < 0) {
                num[e.to] = num[u] + 1;
                que.push(e.to);
            }
        }
    }
}
void add_edge(ll from, ll to, ll w) {
    G[from].push_back(edge{to, w, G[to].size()});
    G[to].push_back(edge{from, 0, G[from].size() - 1});
}

如有发现模板的错误请联系我指正，我将不胜感激。

最大流问题

举个例子，互联网上有几台计算机，某些计算机之间建立了一定带宽的有向连接。目标是将数据从某台指定的计算机$s$（称为源点）传输到$t$（称为汇点），求单位时间内最多能传输多少数据。

有许多类似的问题，都可以抽象成类似的网络流问题，上面的问题是一个（单源单汇）最大流问题。形式化地描述，即为：

对无重边与自环的有向图$G(V,E)$，若每条边$e\in E$有一个权值$w_e$（称作该边的容量），且$s\in V,t\in V$，称该图为一个网络。若一个有向图$G'(V,E)$满足：$G'$与$G$完全相同，除去每条边$e\in E$有另一个权值$f_e$（称作该边的流量）以外；并且对$\forall u\in V,u\ne s,u\ne t$满足$\sum\limits_{e=\langle u,v\rangle}{f_e}=\sum\limits_{e=\langle v,u\rangle}{f_e}$（即流入每个顶点的流量等于流出的流量），那么称该有向图$G'$为网络$G$上的一个流，该流的流量$f$定义为$\sum\limits_{e=\langle s,u\rangle}{f_e}$。一个网络的最大流是指该网络的所有流中流量最大的那个。

通常在不引起歧义的情况下，并不区分最大流和最大流的流量。

对上面的抽象模型，解决最大流问题的算法有两类：增广路算法和预流推进算法。最常用的是增广路算法中的 Ford-Fulkerson 算法和​ Dinic​ 算法。这里将常见的算法罗列如下：

本文讲解Ford-Fulkerson算法的思路，算法本身与证明，最后会给出模板。Ford-Fulkerson算法是增广路算法的一种，用于求解最大流问题，不明背景请看网络流这篇文章。

分析

朴素算法

朴素的想法（的一种）是这样的：在图中DFS，一旦找到一条从s指向t并且可以在这条路径上添加流量（即：每条边$e$都满足$f_e<w_e$），那么就在这条路径的所有边上同时不断添加流量，直到无法再添加（即：某条边$e$上$f_e=w_e$）。直到无法再找到任何这样的路径，即得到最大流。如下图。

上面的图中，黑色为边的容量，红色为边的容量。图1为原来的网络，其中1为源点，6为汇点。图二为DFS时可能得到的一个图，可以看到上面的算法在这里就会停止。而图三是该网络的最大流。可以轻松地验证这一点，因为从1出发的边都已经满流了，无法再增加新的流量。注意，DFS可能得到最优解，但不是一定得到最优解。

所以上述的算法是错误的。但是它错在哪里呢？

改进

观察图3，这个流比图2多的流如图4：

从图4看，它是把图2中$2\rightarrow4$已有的流量1“推了回去”而产生的。这也正是增广路算法的核心所在。但是，这看起来不可理喻：原图中没有的边，为什么凭空造出来一条就正确呢？

解释

仔细观察图2和图3，就会发现，$4\rightarrow6$的边流量没变，仍然是1。但是，$2\rightarrow4$的流量没有了，那最大流中谁为4提供那一个流量呢？显然是$1\rightarrow3\rightarrow4$的路径。同理，$1\rightarrow2$的流量也没有变，它从$2\rightarrow5\rightarrow6$的路径流出去了。这就可以想象成，节点4不知道是谁给他的流量，也就是在这个过程中4的上游的信息被屏蔽了，同时2的下游的信息也被屏蔽了。只要有人能为4提供流量，他就什么都不知道。同样的，只要有人能从2运走流量，他也什么都不知道。这样，在新的流中，原本只有一份的流量，$1\rightarrow3\rightarrow 4$流走了一份，$1\rightarrow2\rightarrow5$又流走了一份，所以流量+1。

所以，$\langle u,v\rangle$的反向边$\langle v,u\rangle$的意义就是：在$\langle u,v\rangle$有流$f$的时候，如果有一个路径可以从$v$流入（称其前面的那段路经为上游）再从$u$流出（称其后的那段路径为下游）且流为$f_0\le f$，那么就可以认为上游为$v$提供原来的一部分流$f_0$，而从$u$流入的那些$f_0$“改道”从下游流出了。

上面的做法，可以算作对朴素DFS做法的一个修正，大概可以理解为：避免了因DFS顺序不确定而导致的错误。

于是对一个流，可以对图上所有有流$f$的边$\langle u,v\rangle$建立反向边$\langle v,u\rangle$，其容量为$f$。这样得到的新的图称为残余网络，残余网络上从$s$到$t$的路径叫做增广路。在残余网络上进行dfs沿着增广路来添加流，这就是Ford-Fulkerson算法。

算法描述

对网络上的每个流$G(V,E)$，定义与之对应的残余网络$G'(V,E')$：若$f_e>0(e=\langle u,v\rangle\in E)$，那么$e\in E'$且$rev(e)=\langle v,u\rangle\in E'$，并且$w_{rev(e)}=f_e,f_{rev(e)}=0$。$E'$中的元素只有刚才描述的那些。那么算法可以描述为：

Ford-Fulkerson算法

输入：网络$G$（一个图$G(V,E)$，$E$中的边$e$有权重$w_e\in\mathbb{N_+}$），$max\_flow=0$

输出：该网络上的最大流的流量$f$

步骤0. [建立反向边]定义$max\_flow\gets0$，用邻接表G[V]存储网络；对$E$中的每条边$e=\langle u,v\rangle$，作其反向边$e'=\langle v,u\rangle$，并置$w_{e'}\gets0$。

步骤1. [寻找增广路]在$G$上DFS，寻找从$s$到$t$的简单路径，要求该路径上每条边可用权值$(w_e-f_e)$大于0。若找到，记该路径上的权值最小的边权值为$f$，否则$f\gets0$。

步骤2. [找到了，更新残余网络]如果$f>0$，置$max\_flow\gets max\_flow+f$。对路径上的每条边$e$，置$f_e\gets f_e+f$。记其反向边为$e'$，置$w_{e'}\gets w_{e'}+f$。返回1。

步骤3. [没有找到]如果$f=0$，输出$max\_flow$，算法结束。

最大流不会超过从$s$出发的所有边的边权和。而该算法中每次进入步骤1后，$f$总是正整数（也有$f=0$的情况，此时算法结束），所以该算法对整数总是有限的。若记最大流流量上界为$F$，则该算法最多进入步骤1$(F+1)$次，而每次进入步骤1需要$O(|E|)$的复杂度进行搜索。所以总的时间复杂度是$O(F|E|)$。但这个复杂度上界是很松的，实际用起来效率比较高，所以有时即使估计复杂度偏高也可以使用。对$F$较小的情况则可以轻松应对。

证明

在Ford-Fulkerson算法结束后的残余网络上没有$s\rightarrow t$路径，所以（残余网络上）从$s$可达的所有点构成的集合$S$不包含$t$。记$T=V-S$，那么$T$不空，并且$T\cap S=\varnothing$。

结论1：从$S$指向$T$（满足$u\in S,v\in T$）的边$e=\langle u, v\rangle$都应当满流，即$w_e=f_e$。否则，由于从$s$可达$u$，$s$也可以从$s\rightarrow u\rightarrow v$到达$v$，那么$v\in S$，矛盾。

结论2：从$T$指向$S$（满足$u\in T,v\in S$）的边$e=\langle u,v\rangle$流量必为0。否则，$s$可由其反向边到达$u$；即：流入$S$的流量为0。（反向边就是在这里用到的）

对于任意一个流，$S-\{s\}$中的点流入的流量都等于流出的流量，那么流入$S-\{s\}$的流量$f_{in}$等于从$S$流向$T$的所有边的流量和$S_f$，这个和不超过从$S$流向$T$的所有边的容量和$S_w$，写在一起就是$f_{in}=S_f\le S_w$。从而从$s$流出的流量$f_s$一定不超过$S_w$，因为$f_s$应当是$f_{in}$的一部分。即$f_{s}\le S_w$，这是对任意流的结论。

而对于残余网络（注意残余网络也是一个流），由结论1，$S_f=S_w$。又由结论2，$f_s$即为$f_{in}$的全部，所以有$f_s=f_{in}=S_w$，所以$f_s$为所有流中的最大者。

也可以用反证法。若存在比Ford-Fulkerson算法得到的流更大的流，仍然观察上面的点集$S$，此时从$s$流出的流量$f_{s'}$应当超过了$f_x=S_w$，这时$S-\{s\}$中的点不可能满足流入每个顶点的流量等于流出的流量，所以这样的流不存在。

至此，就证明了Ford-Fulkerson算法的正确性。

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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstring>

#define V 5005 //V为顶点最大个数，视数据范围而定
#define INF 0x7fffffffffffffff

using namespace std;
typedef long long ll;
struct edge {
    ll to, w, rev;
};
vector<edge> G[V];
int s, t;//源点和汇点，是全局变量
bool vis[V];

ll max_flow();
ll dfs(ll u, ll f);
void add_edge(ll from, ll to, ll w);

ll dfs(ll u, ll f) {
    if(vis[u]) return 0;
    vis[u] = true;
    if(u == t) return f;
    for(int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
        edge &e = G[u][i];//注意是引用，需要直接修改原图
        if(!vis[e.to] && e.w > 0) {
            ll curf = dfs(e.to, (f > e.w) ? e.w : f);
            //min函数有些编译器不给过
            if(curf > 0) {
                e.w -= curf;
                //直接修改容量而非同时记录f和w，只是为了方便
                G[e.to][e.rev].w += curf;
                return curf;
            }
        }
    }
    return 0;
}
ll max_flow() {
    ll maxf = 0;
    while(true) {
        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        ll f = dfs(s, INF);
        if(f == 0) break;
        maxf += f;
    }
    return maxf;
}
void add_edge(ll from, ll to, ll w) {
    G[from].push_back(edge(to, G[to].size(), w));
    G[to].push_back(edge(from, G[from].size() - 1, 0));
}

如有发现模板的错误请联系我指正，我将不胜感激。

这是一道最大点权闭合图的问题，有论文最小割模型在信息学竞赛中的应用（%%）。这类问题的解法是建图转化成最小割问题，再用最大流求解。

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